Regla de Cramer

Cramer fue un matemático suizo nacido en Ginebra que mostró gran precocidad en matemáticas. A los 18 años recibió su doctorado y a los 20 ya era profesor en la Universidad. A día de hoy su nombre es muy escuchado gracias al método que dejó, un teorema que suele ser muy utilizado por los alumnos de segundo de bachillerato. 

Gabriel Cramer - Autor Desconocido -  Dominio Público

La regla de Cramer permite resolver los sistemas de ecuaciones lineales que cumplen ciertas condiciones utilizando los determinantes. En la entrada de hoy sólo vamos a ver este método aplicado a los Sistemas Compatibles Determinados. 

La regla de Cramer dice: "Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, en el cual el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, admite una solución y sólo una, es decir, es un sistema compatible determinado".

Veamos cómo se calcula la solución utilizando el método de Cramer:

Consideramos un sistema de n ecuaciones y n incógnitas:

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La expresión matricial del sistema es:

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La solución del sistema vendría dada por:

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Donde :

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Es el determinante que resulta de sustituir en la columna i-ésima por la columna de los términos independientes, siendo i=1,2,...n

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema lineal de 3 ecuaciones y 3 incógnitas utilizando el método de Cramer:

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En primer lugar escribiremos nuestro sistema en forma matricial y calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes:

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Como este determinante es distinto de 0, nos indica que el rango de la matriz es 3 y por lo tanto el sistema es Compatible Determinado (Véase la entrada Rouché-Frobenius) y válido para aplicar el método.

Por tanto, la solución del sistema vendrá dada por:

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Como se puede comprobar, el método de Cramer es un método muy sencillo si se domina el cálculo de determinantes. Desde aquí os animo a que lo pongáis en práctica y lo uséis como un método habitual para resolver los sistemas que se os proponen. Os dejo aquí un enlace con ejercicios para que practiquéis.

Referencias:

Wikipedia

Teorema de Rouché-Frobenius

Hay un concepto referido a los sistemas que genera risas y confusión la primera vez que se escucha, se trata de la discusión de sistemas, y no...no se trata de ningún enfrentamiento entre sistemas. Discutir un sistema es estudiar el número de soluciones que posee, para ello disponemos de varias herramientas, una de ellas será la protagonista de nuestra entrada de hoy. ¡Vamos a ello!En una entrada anterior vimos la notación matricial de un sistema lineal, así como las definiciones de matriz de coeficientes y matriz ampliada, hoy vamos a necesitarlas para hablar del teorema de Rouché-Frobenius. Este teorema nos permitirá saber si el sistema tiene o no tiene solución estudiando los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.

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Si tenemos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas y consideramos su forma matricial,    Ax = b, siendo la dimensión de A mxn y la de x y b nx1, el teorema establece que la condicion necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible es que los rangos de las matrices A y A* sean iguales.

• Si rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado: el sistema tiene una única solución.

• Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

• Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

Para los que no recordéis cómo se calculaba el rango de una matriz os dejo el enlace a una entrada de mi compañera Amalia en la que os explica cómo calcularlo.

Referencia:

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM

Ejemplo resolución de sistemas por el método de Gauss

En la anterior entrada vimos en qué consistía el método de Gauss, hoy vamos a ver un ejemplo de cómo aplicamos este método resolviendo el siguiente sistema: 

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Como ya vimos, se trata de transformar el sistema en uno equivalente escalonado. Empezamos expresando nuestro sistema en forma matricial: 

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Ahora haremos las transformaciones necesarias para que nuestra matriz sea escalonada.

Sustituimos la fila 2 por la fila 2 menos 3 veces la fila 1 y la fila 3 por la fila 3 menos 2 veces la fila 1, obtenemos el siguiente resultado: 

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Si ahora sustituimos la fila 3 por 7 veces la fila 3 menos 3 veces la fila 2 llegamos a la siguiente matriz: 

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De esta manera, ya tendríamos transformado el sistema en un sistema escalonado. No hay ninguna fila nula y el último elemento de la última fila de la matriz de la parte izquierda es no nulo, por tanto el sistema no es incompatible. El número de filas no nulas coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Como ya vimos, la solución se obtiene despejando y sustituyendo sucesivamente de abajo a arriba:

2z = -6 -> z = -3

Sustituyendo z = -3 en la segunda ecuación obtenemos: -7y + 4(-3) = -26 -> y = 2

Finalmente, sustituimos z e y en la primera ecuación y obtenemos que x = -2

Y para que practiquéis lo aprendido, os dejo un enlace con ejercicios:
Ejercicios sistemas lineales por el método de Gauss

Referencias:

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM

Método de Gauss

Antes de empezar con el Método de Gauss vamos a repasar el concepto de sistema escalonado. Un sistema escalonado es aquel en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Ejemplo de sistema escalonado:

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El método de Gauss consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente, aplicando las transformaciones necesarias, hasta conseguir un sistema escalonado. Una vez lleguemos a la forma escalonada tendremos tres casos posibles:

• Si alguna de las filas que quedan está formada por todo ceros excepto el término independiente, que es distinto de cero, el sistema es incompatible y no tiene solución.
• Si no es incompatible, se consideran el número de filas no nulas que quedan y el número de incógnitas:
• Si el número de filas no nulas coincide con el de incógnitas, el sistema es compatible determinado, y su única solución se puede obtener de forma muy sencilla resolviendo de abajo a arriba el sistema escalonado.
• Si el número de filas no nulas es menor que el de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, y sus infinitas soluciones se obtienen con la ayuda de tantos parámetros como diferencia haya entre el de incógnitas y el número de filas no nulas. Se consideran como parámetros las incógnitas que no son principales y se pasan al otro miembro de cada una de las ecuaciones. A continuación se resuelve despejando de abajo a arriba.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la primera columna no cero de izquierda a derecha.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados de la fila superior a las filas de debajo de ella.
4. Dejamos fija la fila superior y repetimos el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de filas hasta llegar a una matriz escalonada

Referencias:

Wikipedia

Apuntes Marea Verde

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones y sistemas equivalentes

Seguimos con el repaso de algunos conceptos útiles para la resolución de un sistema de ecuaciones, esta vez nos toca recordar su forma de expresión matricial. 

Si tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: 

Recorte de pantalla de Wikipedia (Sistemas de ecuaciones lineales) CC BY-SA 3.0. Fte. Elaboración propia

Podemos escribirlo de la forma Ax = b, donde A (matriz de coeficientes) será una matriz mxn, x (vector de incógnitas) un vector columna con n elementos y b (vector de términos independientes) también un vector columna con m elementos.  
Veamos cómo sería en el caso general de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

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Llamamos matriz ampliada, A*, a la matriz formada por la combinación de A y b:

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Sistemas Equivalentes

Otro de los conceptos que vamos a repasar en esta entrada es el de Sistemas Equivalentes. Dos sistemas con el mismo número de incógnitas, aunque no tengan el mismo número de ecuaciones, se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero es solución del segundo, y viceversa.

Si en un sistema de ecuaciones lineales cualquiera se realiza alguna de las siguientes transformaciones, se obtiene siempre un sistema equivalente:

• Cambiar el orden de las ecuaciones.
• Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por un número distinto de cero.
• Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
• Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras.

Referencias:
Wikipedia
Apuntes Marea Verde
Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM

Sistemas de ecuaciones lineales

Hoy vamos a hablar de los sistemas de ecuaciones lineales. Para los estudiantes de 2º de bachillerato los sistemas de ecuaciones lineales son ya viejos conocidos pero en esta entrada vamos a empezar repasando algunos conceptos.

Un sistema lineal es un sistema en el cual cada ecuación que lo forma es de primer grado. Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de las variables que cumplen las ecuaciones que lo forman.

Clasificación de sistemas lineales

Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones que tengan de la siguiente forma:

• Si el sistema tiene solución diremos que se trata de un Sistema Compatible. Si esta solución es única diremos que es un Sistema Compatible Determinado y si tiene infinitas soluciones lo llamaremos Sistema Compatible Indeterminado.
• Si por el contrario, no tiene solución, diremos que se trata de un Sistema Incompatible.

Geométricamente los sistemas incompatibles son rectas, planos o hiperplanos que se cruzan sin cortarse, los sistemas compatibles determinados son rectas planos o hiperplanos que se cortan en un único punto y los sistemas compatibles indeterminados son planos o hiperplanos que se cortan a lo largo de una recta.

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¿De dónde viene la palabra Álgebra?

Álgebra es una palabra que engloba una rama muy amplia de las matemáticas. En segundo de bachillerato se estudian algunos apartados muy interesantes de esta rama como la resolución de sistemas empleando el método de Gauss o las operaciones con matrices.

Math Photo by Matti Mattila on Foter.com / CC BY-NC-SA

Gauss tiene una curiosidad muy conocida en el mundo matemático que cuenta que con tan solo 10 años, estando en clase, el profesor mandó hacer la suma de los 100 primeros números naturales. Él, casi inmediatamente se levantó y escribió el resultado: 5050.

Pero, volviendo a la palabra "álgebra", ¿a quién se le ocurrió? Y, ¿qué engloba exactamente?

El álgebra lleva con nosotros desde tiempos inmemoriales. Los egipcios y los babilonios ya utilizaban esta técnica para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Más adelante, esta antigua sabiduría, fue aceptada con gran interés por el mundo islámico y fueron ellos los que dieron lugar al nombre: al-jabru.

"Al-jabru" significa reducción, y es que ellos entendían esta parte de las matemáticas como una ciencia de reducción y equilibrio. Para nosotros, el álgebra como la conocemos hoy en día, trata de la cantidad en general, la cual representamos por medio de letras u otros signos.

Podéis leer más sobre el origen y los grandes descubrimientos del Álgebra en el siguiente enlace:

https://www.cienciamatematica.com/algebra/conceptos-basicos/origen-historia-del-algebra

El concepto de derivada

En matemáticas muchas veces aprendemos de forma mecánica un procedimiento sin llegar a entender la razón por la cual lo hacemos.

Esto nos suele pasar con el concepto de derivada que, con suerte, nos lo explican durante el último trimestre de 4° de la ESO y lo vamos arrastrando hasta 2°de Bachiller. 

La derivada en sí es importante entenderla, ya que de esa manera podremos abarcar con menor dificultad las temidas integrales que también se explican en este curso. 

Derivada cero 11b, Dnu72, CC BY-SA 4.0

¿Qué es una derivada? ¿Para qué la calculamos? 

Realmente, la derivada de una función es una expresión general que nos aportará la información necesaria si la sabemos utilizar.

Encontrar la expresión suele ser algo mecánico y sencillo gracias a las reglas de derivación que se conocen hoy en día, pero ¿qué me está intentando decir la expresión que obtengo?

Pues sinceramente, así tal cual, no tiene mucho sentido. Esa expresión te permite conocer la pendiente que tiene la recta tangente a la función en cada punto que sustituyas, pero dibujarla sirve de bien poco y lo único que puede pasar es que te líes más. Por eso, sólo conociendo la pendiente seremos capaces de entender si nuestra función original crece, decrece o ha llegado a un punto de máximo o mínimo. 

Es bastante sencillo.

Veámoslo con un ejemplo:

Quiero saber el comportamiento de una función en el punto x=a.

1°. Calculo la derivada de la función de forma general. 

2°. Ahora sólo tengo que sustituir “a” en la expresión de la derivada y aplicar el siguiente criterio:

Si es positivo significará que mi función crece alrededor de este punto, es decir, un poquito antes y un poquito después. 

Si es negativo, significará justo lo contrario. Decrecerá alrededor del punto. 

Y si obtenemos el valor 0, pueden darse varios casos que dejaremos para otra entrada en la que veremos cómo afrontar la nulidad en la derivada.

Así que recapitulando, lo que tenemos que tener siempre que derivemos presente, es que para conocer algo de la derivada, es importante que ésta sea un valor numérico, así podremos descifrar lo que quiere transmitirnos: la forma de la función. 

Os dejo en el siguiente enlace una web que os será de gran ayuda para pintar funciones y poder observar su comportamiento:

https://www.mathe-fa.de/es

Pero las matemáticas...¿para qué sirven?

Voy a empezar mi andadura bloguera enfrentándome a la temida pregunta a la que nos enfrentamos los matemáticos. Sí, esa que casi todos habréis pensado justo antes de un examen o al hacer los deberes de matemáticas: pero esto...¿para qué sirve?

A mí siempre me habían gustado las matemáticas y, la verdad, se me daban bien; entonces llegó el primer día de clase de la carrera y me di cuenta de que no tenía ni idea de dónde me había metido. 

"A ver...la matemática que calcule a cuánto salimos cada uno", otro tópico al que nos enfrentamos cada vez que pisamos un restaurante en compañía o hacemos un regalo conjunto. Pues veréis, resulta que aunque os penséis que estamos haciendo divisiones de 35 cifras, no es así. Os sorprenderá saber que los pocos números que solemos ver durante la carrera son la numeración de los teoremas y la de los ejercicios. Nos dan herramientas (teoremas, definiciones, lemas...) y con ellas aprendemos a razonar, a cuestionarnos todo y así ser capaces de resolver los problemas que se nos plantean. Y...¿no es eso a lo que nos enfrentamos todos en nuestro día a día? Las matemáticas no sólo están en los números o en el temario del instituto, tenemos claro que las matemáticas nos acompañan en nuestra vida cotidiana, las encontramos en una receta de cocina, en nuestras compras... Pero lo más importante es aquello que nos aportan sin darnos cuenta: la capacidad de razonar, pensar y resolver situaciones diarias en las que puede no haber ningún número involucrado.

Os dejo un video muy interesante de Eduardo Sáenz de Cabezón en el que también responde a la famosa pregunta: