Método de Gauss

Antes de empezar con el Método de Gauss vamos a repasar el concepto de sistema escalonado. Un sistema escalonado es aquel en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Ejemplo de sistema escalonado:

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

El método de Gauss consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente, aplicando las transformaciones necesarias, hasta conseguir un sistema escalonado. Una vez lleguemos a la forma escalonada tendremos tres casos posibles:

• Si alguna de las filas que quedan está formada por todo ceros excepto el término independiente, que es distinto de cero, el sistema es incompatible y no tiene solución.
• Si no es incompatible, se consideran el número de filas no nulas que quedan y el número de incógnitas:
• Si el número de filas no nulas coincide con el de incógnitas, el sistema es compatible determinado, y su única solución se puede obtener de forma muy sencilla resolviendo de abajo a arriba el sistema escalonado.
• Si el número de filas no nulas es menor que el de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, y sus infinitas soluciones se obtienen con la ayuda de tantos parámetros como diferencia haya entre el de incógnitas y el número de filas no nulas. Se consideran como parámetros las incógnitas que no son principales y se pasan al otro miembro de cada una de las ecuaciones. A continuación se resuelve despejando de abajo a arriba.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la primera columna no cero de izquierda a derecha.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados de la fila superior a las filas de debajo de ella.
4. Dejamos fija la fila superior y repetimos el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de filas hasta llegar a una matriz escalonada

Referencias:

Wikipedia

Apuntes Marea Verde

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM