Teorema de Rouché-Frobenius

Hay un concepto referido a los sistemas que genera risas y confusión la primera vez que se escucha, se trata de la discusión de sistemas, y no...no se trata de ningún enfrentamiento entre sistemas. Discutir un sistema es estudiar el número de soluciones que posee, para ello disponemos de varias herramientas, una de ellas será la protagonista de nuestra entrada de hoy. ¡Vamos a ello!En una entrada anterior vimos la notación matricial de un sistema lineal, así como las definiciones de matriz de coeficientes y matriz ampliada, hoy vamos a necesitarlas para hablar del teorema de Rouché-Frobenius. Este teorema nos permitirá saber si el sistema tiene o no tiene solución estudiando los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

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Si tenemos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas y consideramos su forma matricial,    Ax = b, siendo la dimensión de A mxn y la de x y b nx1, el teorema establece que la condicion necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible es que los rangos de las matrices A y A* sean iguales.

• Si rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado: el sistema tiene una única solución.

• Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

• Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

Para los que no recordéis cómo se calculaba el rango de una matriz os dejo el enlace a una entrada de mi compañera Amalia en la que os explica cómo calcularlo.

Referencia:

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II, 2 bachillerato. Luis Sanz, Fernando Alcaide, Joaquín Hernandez, María Moreno, Esteban Serrano. Ed: SM