Cramer fue un matemático suizo nacido en Ginebra que mostró gran precocidad en matemáticas. A los 18 años recibió su doctorado y a los 20 ya era profesor en la Universidad. A día de hoy su nombre es muy escuchado gracias al método que dejó, un teorema que suele ser muy utilizado por los alumnos de segundo de bachillerato.
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| Gabriel Cramer - Autor Desconocido - Dominio Público |
La regla de Cramer permite resolver los sistemas de ecuaciones lineales que cumplen ciertas condiciones utilizando los determinantes. En la entrada de hoy sólo vamos a ver este método aplicado a los Sistemas Compatibles Determinados.
La regla de Cramer dice: "Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, en el cual el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, admite una solución y sólo una, es decir, es un sistema compatible determinado".
Veamos cómo se calcula la solución utilizando el método de Cramer:
Consideramos un sistema de n ecuaciones y n incógnitas:
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La solución del sistema vendría dada por:
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Donde :
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Es el determinante que resulta de sustituir en la columna i-ésima por la columna de los términos independientes, siendo i=1,2,...n
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En primer lugar escribiremos nuestro sistema en forma matricial y calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes:
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Como este determinante es distinto de 0, nos indica que el rango de la matriz es 3 y por lo tanto el sistema es Compatible Determinado (Véase la entrada Rouché-Frobenius) y válido para aplicar el método.
Por tanto, la solución del sistema vendrá dada por:
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Como se puede comprobar, el método de Cramer es un método muy sencillo si se domina el cálculo de determinantes. Desde aquí os animo a que lo pongáis en práctica y lo uséis como un método habitual para resolver los sistemas que se os proponen. Os dejo aquí un enlace con ejercicios para que practiquéis.
Referencias:
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