Matriz de Vandermonde

En la entrada de hoy vamos a profundizar viendo un concepto nuevo en el cual podemos aplicar lo aprendido sobre resolución de sistemas lineales.

En 4º de E.S.O vemos que fijados dos puntos del plano existe una sola recta que pasa justamente por esos puntos. Si esos dos puntos además tienen abscisas distintas entonces la recta admite una ecuación en forma explícita y = mx + n.

Podemos preguntarnos qué pasa si cambiamos la recta por una parábola de la forma:

Ec. de una parábola, recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0

En este caso, de manera análoga, si tenemos tres puntos con abscisas distintas todas ellas entonces existe una sola parábola que pasa justamente por ellos. De hecho, en general, si: 

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

es un polinomio de grado n y tenemos n+1 puntos con abcisas todas distintas, hay una única manera de elegir los coeficientes

para que esta función pase por los n+1 puntos. Supongamos, por ejemplo, que los puntos son

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

Entonces la función pasa por todos ellos si se cumple el sistema de ecuaciones:

Sistema, recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

Aquí las incógnitas son:

por lo que el sistema es lineal y la matriz de coeficientes viene dada por:

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

Esta matriz recibe el nombre de matriz de Vandermonde, y su determinante viene dado por el producto de todas las diferencias entre las abcisas de los puntos:

Recorte de LaTeX de elaboración propia CC BY-SA 4.0 

Como sabemos que dichas abscisas son todas distintas entre si, el determinante será distinto de cero y por tanto, su rango será n, por el teorema de Rouché-Frobenius este sistema de ecuaciones linales es un sistema compatible y determinado y por tanto, admite solución única, que podemos calcular por el método de Cramer o por el algoritmo de Gauss.